LA PÁGINA DEL OMNIPOLIEDRO

El modelo cosmológico de Kepler está basado en los sólidos pitagórico-platónicos y se inspira en los modelos de Leonardo. En los cinco sólidos platónicos de “Los elementos” de Euclides, Kepler veía los elementos estructurales del universo. Los planetas se abrían camino en un gigantesco puzzle de poliedros regulares: un Tetraedro inscrito en un Cubo, un Dodecaedro inscrito en el Tetraedro, un Icosaedro inscrito en el Dodecaedro y un Octaedro inscrito en el Icosaedro.

Dado un Icosaedro, los centros de sus 20 caras son los vértices de los 12 pentágonos de un Dodecaedro. Al trazar una diagonal en cada uno de los 12 pentágonos del Dodecaedro se obtienen las 12 aristas de un Cubo. Las diagonales de las caras del Cubo nos dan las 6 aristas de un Tetraedro. Los puntos medios de las 6 aristas de este Tetraedro son los vértices de un Octaedro. La combinación de los 5 poliedros regulares, debida a Luca Pacioli, se conoce con el nombre de OMNIPOLIEDRO, porque contiene todos los poliedros regulares, cada uno inscrito en el anterior.

El artista holandés Mauritus C. Escher construyó un modelo de alambre de los cinco poliedros regulares platónicos encajados y siempre lo llevaba consigo, como un símbolo de su inspiración artística.

DIMENSIONES DEL OMNIPOLIEDRO

POLIEDRO	PERSPECTIVA	NÚM. DE BARRAS	LONGITUD
Tetraedro		6
Cubo		12	X
Octaedro		12
Icosaedro		30	X
Dodecaedro		30

Tomando la arista del cubo igual a 2 metros, las longitudes de cada barra serían las siguientes:

POLIEDRO	NÚM. DE BARRAS	LONGITUD ARISTA	LONGITUD BARRA	TOTAL
Tetraedro	6	2,83	2,79	16,74
Cubo	12	2	1,96	23,52
Octaedro	12	1,41	1,37	16,44
Icosaedro	30	2	1,96	58,80
Dodecaedro	30	1,24	1,20	36,00
Longitud total de aluminio necesario.............................				151,50 m

(Hay que tener en cuenta que las barras deben tener menor longitud, ya que se unen en los vértices mediante bridas con un nudo)

DISTINTAS FASES EN LA CONSTRUCCIÓN DEL OMNIPOLIEDRO

Construimos el tetraedro e inscribimos el octaedro, de forma que cada vértice del octaedro sea el punto medio de la arista del tetraedro.

Si intentas construir el cubo “a pelo” verás que la construcción no tiene estabilidad, “no se tiene en pie”. Ello es debido a que el cubo no es un sólido rígido. Para que lo sea hay que construirlo de forma que contenga al tetraedro, el cual le da solidez.

Construimos el cubo alrededor del tetraedro, de manera que los vértices del tetraedro sean vertices alternos del cubo. Así, cada cuadrado del cubo queda cortado por una arista del tetraedro, de forma que las diagonales de las caras del cubo son aristas del tetraedro.

Ahora tenemos los tres primeros poliedros encajados: octaedro, tetraedro y cubo. Los vértices del octaedro se sitúan en los centros de las caras del cubo, lo que indica que el cubo y el octaedro son poliedros duales.

Construimos el dodecaedro a partir del cubo, de forma que en cada vértice del cubo concurren tres vértices del dodecaedro. Como algunos de los vértices ya tienen seis barras, las tres que añadimos en ese caso las intercalamos con las existentes. De la misma forma, completamos los doce pentágonos regulares del dodecaedro.

Las barras del icosaedro deben introducirse por el interior de las barras del dodecaedro, ya que es el icosaedro el que da rigidez al dodecaedro. Las aristas del dodecaedro y del icosaedro se unen en sus puntos medios y cada vértice del icosaedro debe quedar en el centro de cada cara del dodecaedro.